四条烏丸校｜高2数学の途中式で失点原因を探す3問と復習シート

直す場所は「最初に根拠が崩れた行」

答えが違うときは上から順に、各行が前の行から言えるかを見ます。途中で計算ミスがあっても、そもそも使った式が条件に合わなければ、計算だけ直しても解決しません。等号や不等号で何を主張したかを言葉にします。

一方、解法自体は適切で計算だけ誤った答案に、最初から別解を追加する必要があるとは限りません。答案の最初のつまずきと、その後に起きた間違いを分けて見ましょう。

行単位で検証する三つの問い

途中式を見直すときは、各行の左側に三つの印を付けます。この行は前の行から言えるか、条件は残っているか、変形の前後で解や範囲は同じか、という三つです。計算が合っているかどうかより先に、この三つを確かめます。

• 問い

  前の行から言えるか

  見ること

  使った公式・変形の根拠

  三問での例

  x²＝3xから両辺をxで割る操作

• 問い

  条件は残っているか

  見ること

  分母・平方根・定義域

  三問での例

  √(x＋2)＝xでx≧0が必要

• 問い

  解や範囲は同じか

  見ること

  同値変形か、必要条件か

  三問での例

  平方すると候補が増える

計算が合っているかより先に、前の行から言えるかを見ます。

三つの問いは、難しい単元を知らなくても使えます。まず行を指で追い、前の行と比べて何をしたかを一言で言います。説明できない行があれば、そこが最初のつまずきです。

次に、条件を書いた行を探します。問題文の条件が式の変形の途中で消えていないか、逆に新しく増えた条件を書き忘れていないかを見ます。最後に、得た答えを元の式や問題の条件に戻して確かめます。

問1｜割る前にゼロの場合を残す

直すのはx＝0の場合を除外したまま割っている行です。x²−3x＝0からx(x−3)＝0とし、x＝0または3を得ます。ゼロかもしれない式で割るときは、割れる条件の確認が必要です。

ゼロかもしれない式で割るときは、割れる条件を先に確かめます。

「答えに0を足す」とだけ覚えるのではなく、変形の前後で解を失っていないかを確かめます。得た0と3を元の式へ代入すれば、どちらも成り立ちます。別の式でも、割る量がゼロになり得るかを点検してください。

問2｜平方した後に元の条件へ戻る

方程式√(x＋2)＝xを解きます。√は0以上の平方根を表します。

計算は進んでいますが、元の式からx≧0が必要です。x＝−1は左辺が1、右辺が−1となり成り立ちません。正しい解はx＝2だけです。平方して得た候補が全て元の式を満たすとは限らないため、最初の条件と最後の代入を残します。

平方したら、元の式に戻す行を必ず残します。

これは「負の解はいつでも捨てる」という規則ではありません。今回、左辺が0以上だから右辺にも条件が必要でした。なぜ除くかを元の式で説明しましょう。

問3｜不等式で符号が変わる操作

不等式−2x＜6を解く架空答案です。

負の数で割ると不等号の向きが変わるので、x＞−3です。例えばx＝0を元の不等式に入れると0＜6で成り立ちますが、架空答案のx＜−3には含まれません。簡単な値の代入は、答えの方向が不自然なことに気付く確認になります。

負の数で割ったら、不等号の向きを確認します。

ただし一つの値が合うだけで、解全体の証明が終わるわけではありません。解法の根拠を確認した上で、代入は検算として使います。

同値変形を一行ずつ確かめる具体例

同値変形とは、式を変えても表している内容が変わらない操作です。両辺に同じ数を足す、ゼロでない同じ数を掛ける、式を整理する、といった操作は前後で意味が同じになります。一方、両辺を二乗する、文字で割る、平方根の条件を外す、といった操作は、条件を付けないと意味が広がったり狭まったりします。

架空の答案で確かめます。x²＝3xの両辺をxで割る操作は、xがゼロでないときだけ同じ意味になります。ゼロの可能性を残すには、割らずに移項して因数分解します。x²−3x＝0、x(x−3)＝0、x＝0または3。この流れなら、元の式が表していた解を落としません。

√(x＋2)＝xの両辺を二乗する操作は、左辺が0以上という条件を外すと意味が広がります。二乗した時点で、元の式では成り立たないx＝−1が候補に加わります。だから最後に元の式へ戻し、x＝2だけを残します。この「戻す」作業は検算ではなく、同値性を取り戻すための手続きです。

不等式−2x＜6で両辺を−2で割る操作は、負の数で割ると大小関係が逆になるため、x＞−3とします。ここで向きを変え忘れると、解の範囲が反対になります。式の形ではなく、行った操作の種類で確認するのが確実です。

検算を答案に残す書き方

検算は、答えが出た後にだけ行うものではありません。答案には、条件を確かめた行と、最後に元の式へ戻した行を残します。採点する人が見ても、自分が後で読み返しても、なぜその答えだけが残ったのかが分かる形にします。

例えば問2なら、二乗した直後に「x≧0が必要」と一行書き、答えの候補を出した後に「x＝−1は元の式を満たさない」と書きます。この二行があるだけで、答案の意味が変わります。正しい答えを書くことと、正しい理由を残すことは別の作業です。

• 場面

  方程式

  検算の例

  求めた値を元の式へ代入

  確かめられること

  解が式を満たすか

• 場面

  不等式

  検算の例

  範囲の内外の値を一つずつ代入

  確かめられること

  向きが合っているか

• 場面

  関数

  検算の例

  グラフの概形と切片を確認

  確かめられること

  形と位置が合うか

• 場面

  場合の数

  検算の例

  小さい数で書き出して数える

  確かめられること

  数え落とし・重複がないか

自分が使える検算を一つ決め、答案の最後に一行で残します。見直しの時間が短い試験では、この一行があるかどうかで、誤りに気付ける割合が変わります。

答案を説明するときは、答えの値だけでなく「どの操作を、なぜ行ったか」を一行ずつ書きます。問3なら「両辺を負の数で割ったので、不等号の向きを変えた」と書きます。この一行があると、同じ操作を別の問題で使うときに、向きの確認を思い出せます。

連立方程式でも同じ見方が使えます。一方の式を他方へ代入する操作は、代入した式が元の式と同じ条件を表しているかが前提です。x＝2yを代入したなら、その関係を満たす範囲で解いていることになります。答えを出した後、二つの式の両方に戻して確かめます。

検算にかける時間は、問題の重さで変えます。配点の高い大問や場合分けのある問題は、最後の答えよりも条件を書いた行を先に見直します。逆に短い計算問題は、代入による確認だけで十分なことがあります。

見直しの順番を決めておくと、試験中に迷いません。①条件を書いた行、②符号と不等号、③最後の代入、の順に上から追います。この順番は今回の三問の誤り方から作ったものです。自分の誤りが別の種類なら、その種類に合わせて入れ替えます。

再発防止は「確認する合図」を決める

「気をつける」だけでは、次の問題で同じ操作を繰り返します。代わりに、式の形を見たときに立ち止まる合図を決めます。問1なら「文字で割る前に、ゼロの可能性を書く」、問2なら「平方したら、元の式に戻す」、問3なら「負の数を掛けたら、向きを確認する」です。

「気をつける」ではなく、式の形を見たときに立ち止まる合図を決めます。

合図は短いほど実行できます。長い注意書きを毎回思い出そうとすると、試験中には使えません。ノートの余白に一行で書き、同じ種類の問題を解くときにその一行だけを見ます。

再発防止の確認は、翌日に解答を閉じて同じ問題を解き直すところまで行います。答えを覚えていても、途中の条件を書けるかを見てください。書けなかった場合は、理解ではなく記憶で直した可能性があります。

答案を書き直すときは、間違えた行を消さずに残し、その横へ正しい行を書きます。消してしまうと、どこで何を誤ったかが分からなくなります。次に同じ単元を解くとき、前回の答案を横に置いて、同じ行で止まらないかを確かめてください。

また、条件を書き忘れる誤りは、計算の速さとは別の原因で起きます。問題文を読んだ直後に、使える条件と求めるものを一行ずつ書く習慣を置くと、式を立てる前に確認できます。時間がかかるように感じても、後から解き直す時間を減らせます。

失点ログは単元名だけにしない

単元名ではなく、最初に崩れた操作を言葉で残します。

問1なら「二次方程式」だけでなく「ゼロの可能性を残す」、問2なら「平方後に元へ戻す」、問3なら「負数で割るときの向き」と記録します。単元を一冊やり直す前に、今回の誤りがどの範囲に広がっているかを確かめましょう。

一週間の復習を学校進度とつなぐ

初日に答案から二問を選び、翌日に必要な性質を確認します。その次に解答を隠して解き直し、週の後半は同じ確認を要する別問題へ進みます。週末には学校の現在の単元へ戻り、同じ誤りが出ていないかを見てください。

三問は操作の点検であり、これだけで入試範囲を網羅しません。

高2では既習範囲と学校進度に差があります。この3問は基礎的な操作の点検であり、これだけで志望校に必要な数学を網羅しません。理系の先取りや入試演習を増やす場合も、英語・理科、学校課題の時間と合わせて計画します。

四条烏丸校で相談する前に

消さずに残した途中式が、相談で一番役に立つ資料になります。

答案は、間違えた途中式を消さずに残して持参します。学校の使用教材、進度、次の定期テスト範囲、志望分野と一週間の予定もあると、学校課題を利用した復習を考えやすくなります。

相談では「何ページ終わったか」に加え、「条件や変形の理由を自力で説明できるか」を確認しましょう。解答を見れば分かることと、自分で解法を選べることは別です。授業の追加、既存教材の復習、質問できる環境の整備など、原因に合わせて検討します。

よくある質問

今日やること

直近の誤答一問から「最初に直す行」と「必要な理由」を一つ書き出してください。四条烏丸校の無料受験相談では、数学の計画を一緒に整理できます。

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